Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 8 - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {3{x^2} - 3x - 8} \right)\)bằng?

A. -2.               B. 5.

C. 9.                D. 10.

Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) \(f(x)\)gián đoạn tại x = 1.

(II) \(f(x)\)liên tục tại x = 1.

(III) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}\)

A.Chỉ (I)                  B. Chỉ (II)

C. Chỉ (I) và (III)     D. Chỉ (II) và (III)

Câu 3: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. \(f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b] và \(f(a).f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm.

II. \(f(x)\) không liên tục trên [a;b] và \(f(a).f(b) \ge 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng              B. Chỉ II đúng

C. Cả I và II đúng       D. Cả I và II sai

Câu 4: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,,x \ne 0}\\{a + 2\,\,\,,x = 0}\end{array}} \right.\). Tìm a để \(f(x)\)liên tục tại x = 0.

A.1                        B. -1

C. -2                      D. 2

Câu 5: Chọn giá trị \(f(0)\)để hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt {2x + 1}  - 1}}{{x(x + 1)}}\) liên tục tại x = 0.

A.1                        B. 2

C. 3                       D. 4

Câu 6: Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,,khi\,x > 1}\\{\dfrac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}\,\,\,,khi\,x \le 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại x = 1.

A. \(\dfrac{1}{2}\)                     B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)                     D. 1

Câu 7: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,,0 < x < 9}\\{m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0}\\{\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x \ge 9}\end{array}} \right.\,\,\). Tìm m để \(f(x)\)liên tục trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) là:

A. \(\dfrac{1}{3}\)                         B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{6}\)                         D. 1

Câu 8: Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01\). Phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây.

I.(-1;0)    , II. (0;1)    , III. ( 1;2).

A. Chỉ I                  B. Chỉ I và II

C. Chỉ II                 D. Chỉ III

Câu 9: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}}\)bằng?

A. \(\dfrac{1}{5}.\)                      B. \(\dfrac{2}{5}.\)

C. \(\dfrac{1}{2}.\)                      D. \(\dfrac{1}{3}.\)

Câu 10: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} \,\,\,\,\,;x \ne 3;x \ne 2}\\{b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,;x = 3;b \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\). Tìm b để \(f(x)\)liên tục tại x = 3.

A. \(\sqrt 3 \)                      B. \( - \sqrt 3 \)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)                   D. \( - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Lời giải chi tiết

Câu 1: Đáp án D

Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 3x - 8\). Hàm số xác định trên R

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là một dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} > 0\)và \({x_n} \ne  - 2\)và \({x_n} \to  - 2\)khi \(n \to \infty \)

Ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {3{x_n}^2 - 3{x_n} - 8} \right) = 10\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {3{x^2} - 3x - 8} \right) = 10\)

Câu 2: Đáp án D

\(f(x) = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(f(1) = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt 1  + 1} \right)}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{2}\)       

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2} = f\left( 1 \right)\)suy ra hàm số liên tục tại x=1

Câu 3 : Đáp án A

Câu 4 : Đáp án B

Đặt t=5x

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 5x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \dfrac{{\sin t}}{t} = 1\)

Để hàm số liên tục tại x=0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)hay \(a + 2 = 1 \Rightarrow a =  - 1\)

Câu 5 : Đáp án A

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {2x + 1}  + 1}}{{x(x + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x(x + 1)(\sqrt {2x + 1}  - 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{(x + 1)(\sqrt {2x + 1}  - 1)}} = \dfrac{2}{2} = 1\end{array}\)

Để f(x) liên tục tại x=0 thì \(f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1\)

Câu 6 : Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}} = \dfrac{3}{8}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}} = \dfrac{a}{2}\)

Để hàm số liên tục tại x=1  thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}\)

Câu 7 : Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{6}\end{array}\)

\(f\left( 0 \right) = m\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{1}{{\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{3}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right)\). Hàm số liên tục tại x=9

Với \(x > 9\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{3}{x}\)   liên tục

Vậy để \(f(x)\)liên tục trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}\)

Câu 8: Đáp án B

\(\begin{array}{l}f( - 1) =  - 1000,99\\f(0) = 0,01\\f(1) =  - 998,99\\f(2) =  - 3991,99\\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0\\\,\,\,\,\,\,f(0).f(1) < 0\end{array}\)

Do đó f(x) =0 có nghiệm trong các khoảng I và II

Câu 9: Đáp án D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{3}\)

Câu 10: Đáp án D

\(f\left( 3 \right) = b + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{10}}{{5(9 - 6 + 3)}}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại x = 3 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = b + \sqrt 3  \Rightarrow b = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\)