Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 3 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC.

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{AB + AC - BC}}{ 2} < AD < \dfrac{{AB + AC + BC} }{ 2}\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta A{\rm{D}}B\), theo bất đẳng thức tam giác

\(A{\rm{D}} > AB - B{\rm{D}}\)      (1)

Tương tự đối với \(\Delta A{\rm{D}}C\)

\(A{\rm{D}} > AC - DC\)      (2)

Công từng vế của (1) và (2) ta có:

\(2A{\rm{D}} > AB + AC - (B{\rm{D}} + C{\rm{D}})\)  
hay \(2A{\rm{D}} > AB + AC - BC\)

\( \Rightarrow A{\rm{D}} > \dfrac{{AB + AC - BC}}{2}\).

Chứng minh tương tự ta có\(A{\rm{D < AB + BD}}\) và \(A{\rm{D}} < AC + DC\)  

\(\eqalign{  &  \Rightarrow 2AD < AB + AC + (BD + DC)\cr& \Rightarrow 2AD < AB + AC + BC  \cr  &  \Rightarrow AD < {{AB + AC + BC} \over 2}. \cr} \)

Vậy  \(\dfrac{{AB + AC - BC} }{ 2} < AD < \dfrac{{AB + AC + BC} }{ 2}.\)