Bài 1.31 trang 16 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’ = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6x + 2 \cr 
& y'' = 6x - 6 \cr} \)

\(y' '= 0 \Leftrightarrow x = 1\)

\( \Rightarrow y =  - 1\)

Tọa độ của điểm I là (1;-1)

LG b

Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY.

Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C)

Lời giải chi tiết:

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là

\(\left\{ \matrix{  x = X + 1 \hfill \cr y = Y - 1 \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là

\(Y - 1 = {(X + 1)^3} - 3{(X + 1)^2} + 2(X + 1) - 1\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow Y - 1 = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1\\
- 3\left( {{X^2} + 2X + 1} \right) + 2X + 2 - 1\\
\Leftrightarrow Y - 1 = {X^3} - 3X - 1
\end{array}\)

Hay \(Y = {X^3} - X\)

Đây là một hàm số lẻ.

Do đó đồ thị (C) của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.