Bài 6 trang 116 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),AC \bot BC,\)\(SA = BC = a\sqrt 3 ,AC = a\)(Hình 99).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

c) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).

d) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

g) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết

a) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow \left( {SA,BC} \right) = {90^ \circ }\).

b) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)

\(\Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^ \circ }\)

Vậy \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {60^ \circ }\).

c) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot AC\)

Vậy \(\widehat {BAC}\) là góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow \tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }\).

d)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AC \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BC = a\sqrt 3 \end{array}\)

e) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC,AC \bot BC\)

\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = AC = a\)

g) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}h = SA = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}\)