Bài 51 trang 77 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(P\) không nằm trên \(d\). Hình 46 minh họa cho cách dựng: đường thẳng đi qua điểm \(P\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng thước và compa như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm \(P\) với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\)

(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm \(A\) và \(B\) sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là \(C\; ( C ≠ P )\).

(3) Vẽ đường thẳng \(PC\)

Em hãy chứng minh đường thẳng \(PC\) vuông góc với \(d\).

Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)

Lời giải chi tiết

a) 

\(A, B\) nằm trên cung tròn có tâm \(P\) nên \(PA = PB.\)

Do đó P nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí \(2\)) 

\(C\) là giao điểm của \(2\) cung có bán kính bằng nhau có tâm tại \(A\) và tại \(B\) nên \(CA = CB.\)

Do đó C nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí \(2\))

\( \Rightarrow\) \(P; C\) đều nằm trên đường trung trực của AB.  

\( \Rightarrow\) Đường thẳng \(CP\) là đường trung trực của \(AB\) 

Do đó: \(PC ⊥ d\)

b) Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm \(A, B\) bất kì trên \(d.\)

- Vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(AP\), cung tròn tâm \(B\) bán kính \(BP\). Hai cung tròn cắt nhau tại \(C\) (\(C\) khác \(P\)).

- Vẽ đường thẳng \(PC\). Khi đó \(PC\) là đường đi qua \(P\) và vuông góc với \(d.\)

Chứng minh :

\(PA = CA\) (vì \(P,C\) cùng thuộc cung tròn tâm \(A\) bán kính \(PA\))

\(⇒ A\) thuộc đường trung trực của \(PC\) (Theo định lí 2) 

\(PB = CB\) (vì \(P, C\) cùng thuộc cung tròn tâm \(B\) bán kính \(PB\))

\(⇒ B\) thuộc đường trung trực của \(PC\) (Theo định lí 2)

\(⇒ AB\) là đường trung trực của \(PC\)

\(⇒ PC ⏊ AB\) hay \(PC ⏊ d.\)