Bài 5 trang 94 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M vẽ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và vẽ cát tuyến MBC đi qua O (B nằm giữa M và C). Đường tròn đường kính MB cắt MA tại E. Chứng minh số đo cung nhỏ AC bằng tổng số đo hai cung nhỏ BA và BE.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABM có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AMB} + \widehat {BAM}\) (Góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}sd\,cungAC\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

\(\widehat {BAM} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB\)  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn)

Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có: \(\widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,BE\)  (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn AE).

Mà \(\widehat {CAy} = \widehat {EAx}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\) (đpcm)