Bài 22 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh \(AH \bot BC\)

b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh AF.AB = AH.AD = AE.AC

c) Chứng minh EB là tia phân giác của góc FED.

Lời giải chi tiết

a) H là giao điểm hai đường cao BE và CF của tam giác ABC \( \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC.

\( \Rightarrow AH \bot BC\).

b) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = {90^0}\);

\(\widehat {BAD}\) chung;

\( \Rightarrow \Delta AFH \sim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) \( \Rightarrow AF.AB = AH.AD\,\,\left( 1 \right)\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = {90^0};\)

\(\widehat {CAD}\) chung;

\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} \) \(\Rightarrow AH.AD = AE.AC\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AF.AB = AH.AD = AE.AC\).

c) Ta có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^0} \Rightarrow E;F\) thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét đường tròn đường kính BC có: \(\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) (1).

Ta cũng có: \(\widehat {HDC} = \widehat {HEC} = {90^0} \Rightarrow \) D, E cùng thuộc đường tròn đường kính CH.

Xét đường tròn đường kính CH có: \(\widehat {HED} = \widehat {BCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {HED}\,\,\left( { = \widehat {BCF}} \right) \Rightarrow EB\) là tia phân giác của \(\widehat {FED}\).