Bài 21 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường kính AD. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

a) Chứng minh tam giác BAH đồng dạng với tam giác DAC.

b) Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh AI là tia phân giác của góc HAD.

c) Tia AH cắt đường tròn O tại K. Chứng minh rằng B, C, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta DAC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0};\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

 \( \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta DAC\,\,\left( {g.g} \right)\)

b) Vì I là điểm chính giữa cung BC  (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

\( \Rightarrow I\) thuộc trung trực của BC.

Lại có \(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc trung trực của BC.

\( \Rightarrow IO\) là trung trực của BC \( \Rightarrow IO \bot BC\).

Mà \(AH \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AH//IO\).

\( \Rightarrow \widehat {HAI} = \widehat {AIO}\)(1) (hai góc so le trong bằng nhau).

Xét tam giác OAI có \(OA = OI = R \Rightarrow \Delta OAI\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {AIO}\)(hai góc ở đáy) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {HAI} = \widehat {OAI} \Rightarrow AI\) là phân giác của \(\widehat {HAD}\).

c) Ta có \(\widehat {AKD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AK \bot KD\).

Mà \(AK \bot BC \Rightarrow KD//BC \Rightarrow BCDK\) là hình thang.

Do \(KD//BC \Rightarrow cung\,BK = cung\,CD\) (hai cung nằm giữa hai dây song song thì bằng nhau).

 \( \Rightarrow cung\,BK + cung\,KD = cung\,CD + cung\,KD\)

\(\Rightarrow cung\,BD = cung\,CK\)

\( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {KBC}\)(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Vậy BCDK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau).