Bài 4.4 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong mặt phẳng (P), cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc mặt phẳng (P). Lấy M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC.

a) Xác định giao điểm K của đường thẳng SD và mặt phẳng (BMN).

b) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MK và AD, Q là giao điểm của hai đường thẳng NK và CD. Chứng minh rằng ba diểm P, Q, B thằng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Trong (ABCD), gọi \(AC \cap BD = O\)

Trong (SAC), gọi \(SO \cap MN = E\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BE \cap SD = K\\BE \subset \left( {BMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K = SD \cap \left( {BMN} \right)\)

b) Theo phần a, K thuộc (BMN) nên mở rộng (BMN) thành (BMKN)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MK \cap AD = P\\MK \subset \left( {BMNK} \right)\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {BMNK} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}NK \cap CD = Q\\NK \subset \left( {BMNK} \right)\\CD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {BMNK} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow P,Q \in \left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)

Mà: \(B \in \left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)

Vậy P, B, Q thẳng hàng.