Bài 41 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
ax + y = 2 \hfill \cr 
6x + by = 4 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(D = \,\left|\matrix{
a & 1 \cr 
6 & b \cr} \right|\, = ab - 6\)

\(\begin{array}{l}
{D_x} = \left| \begin{array}{l}
2\,\,\,1\\
4\,\,\,b
\end{array} \right| = 2b - 4\\
{D_y} = \left| \begin{array}{l}
a\,\,\,6\\
2\,\,\,\,4
\end{array} \right| = 4a - 12
\end{array}\)

Hệ vô nghiệm thì D = 0 ⇒ ab = 6

Vì a, b ∈ Z nên (a, b) là một trong 8 cặp số nguyên là:

(1, 6); (-1, -6); (6, 1); (-6, -1); (2, 3); (-2, -3); (3, 2); (-3, -2)

Với (a;b)=(1;6) thì \(D = 0,\)\({D_x} = 2b - 4 = 2.6 - 4 = 8 \ne 0\) nên hệ vô nghiệm (thỏa mãn)

Tương tự thay (a, b) bởi một trong các cặp số trên, ta thấy cặp (a, b) = (3, 2) không thỏa mãn yêu cầu bài toán vì với (a, b) = (3, 2) thì 

\(\begin{array}{l}
D = 0\\
{D_x} = 2b - 4 = 2.2 - 4 = 0\\
{D_y} = 4a - 12 = 4.3 - 12 = 0
\end{array}\)

Nên hệ vô số nghiệm (không thỏa mãn)

Vậy có 7 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.