Bài 38 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p (mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất tăng thêm 246 \(m^2\). Tính các kích thước của miếng đất đó (biện luận theo p).

Lời giải chi tiết

Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y (x > 0; y > 0)

Chu vi HCN là 2p nên 2(x+y)=2p hay x+y=p (1)

Tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất mới là (x+3)(y+2)

Do diện tích tăng thêm 246 nên (x+3)(y+2)=xy+246 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr 
(x + 3)(y + 2) = xy + 246 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = p\\
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 246
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr 
2x + 3y = 240 \hfill \cr} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 2y = 2p\\
2x + 3y = 240
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 240 - 2p\\
x + y = p
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 240 - 2p\\
x + 240 - 2p = p
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3p - 240 \hfill \cr 
y = 240 - 2p \hfill \cr} \right.\)

Do x > 0; y > 0 nên:

\( \left\{ \matrix{
3p - 240 > 0 \hfill \cr 
240 - 2p > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 80 < p < 120\)

Vậy kích thước của miếng đất là 3p - 240 (mét) và 240 - 2p (mét) với điều kiện 80 < p < 120.