Bài 4 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(A_1\) là trung điểm của cạnh \(SA\) và \(A_2\) là trung điểm của đoạn \(AA_1\). Gọi \((α)\) và \((β)\) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng \((ABCD)\) và lần lượt đi qua \(A_1,A_2\). Mặt phẳng \((α)\) cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại  \(B_1, C_1, D_1\). Mặt phẳng \((β)\) cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B_2, C_2, D_2\). Chứng minh:

a) \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB, SC, SD\).

b) \(B_1B_2 = B_2B\), \(C_1C_2 = C_2C\), \(D_1D_2 = D_2D\).

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \(ABCD\).

Lời giải chi tiết

a) \((α) // (ABCD) ⇒ A_1 B_1 // AB\).

Mặt khác \(A_1\) là trung điểm của \(SA\) nên \(A_1B_1\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) \( ⇒B_1\) là trung điểm của \(SB\).

Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.

b) Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) qua \({A_2}\) và song song \(\left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow \left( \beta  \right) \cap \left( {SAB} \right) = {A_2}{B_2}//AB\).

Mà \({A_2}\) là trung điểm của \(A{A_1}\) nên \({B_2}\) là trung điểm của \(B{B_1}\) hay \({A_2}{B_2}\) là đường trung bình của hình thang \(AB{B_1}{A_1}\). Do đó \({B_1}{B_2} = {B_2}B\).

Chứng minh tương tự ta được: \(C_1C_2 = C_2C\), \(D_1D_2 = D_2D\).

c) Có hai hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \(ABCD\): \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1};ABCD.{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\).