Bài 2 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(B'C'\)

a) Chứng minh rằng \(AM\) song song với \(A'M'\).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng \((AB'C')\) với đường thẳng \(A'M\)

c) Tìm giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((AB'C')\) và \((BA'C')\)

d) Tìm giao điểm \(G\) của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((AM'M)\). Chứng minh \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AB'C'\).

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(BMM'B'\) có \(BM//B'M'\) và \(BM=B'M'\) nên \(BMM'B'\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow MM'//BB'//AA'\) và \(MM'=BB'=AA' \Rightarrow AA'M'M\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow AM//A'M'\)

b) Trong \(mp (AA'M'M)\), gọi \(K=MA' ∩ AM' \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in A'M\\K \in AM' \subset \left( {AB'C'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow K =A'M\cap (AB'C')\)

c) Trong \((ABB'A')\) gọi \(O= AB'\cap A'B\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AB' \subset \left( {AB'C'} \right)\\O \in A'B \subset \left( {BA'C'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow O \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)\)

Mà \(C' \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)\) nên \( \Rightarrow OC' = \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)\).

d) Trong \((AB'C')\): gọi \(G= C'O ∩ AM'\),

\(G  \in AM'\subset ( AMM')\) nên \(G=d\cap (AMM')\).

Mà \(O, M'\) lần lượt là trung điểm \(AB'\) và \(B'C'\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AB'C'\).