Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).

Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,\)

Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha  = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)

Tương tự ta suy ra \({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)

Từ đó suy ra

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha  = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)