Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {{{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}} \right) = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr 
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \cr 
& \Leftrightarrow \,\,\,{b^2} + {c^2} = {a^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow \)  Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).