Bài 2 trang 63 sách giáo khoa hình học lớp 11

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(M\). Cho \((α)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\)

a) Tìm giao tuyến của \((α)\) với các mặt tứ diện

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \((α)\) là hình gì?

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) \((α) //  AC, AC ∈(ABC), M\) là điểm chung của \(( α)\) và  \((ABC)\)

\(\Rightarrow \) Giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và \((\alpha)\)  là đường thẳng qua M và song song với AC.

Qua M kẻ \(MN//AC\,\,\left( {N \in BC} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).

+) \((α) //  BD, BD ∈(BCD), N\) là điểm chung của \((α)\) và  \((BCD)\)

\(\Rightarrow \) Giao tuyến của mặt phẳng (BCD) và \((\alpha)\)  là đường thẳng qua \(N\) và song song với \(BD\).

Qua \(N\) kẻ \(NP//BD\,\,\left( {P \in CD} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP\).

+) \((α) //  AC, AC ∈(ACD), P\) là điểm chung của \(( α)\) và  \((ACD)\)

\(\Rightarrow \) Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và \((\alpha)\) là đường thẳng qua P và song song với AC.

Qua P kẻ \(PQ//AC\,\,\left( {Q \in AD} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\).

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) là tứ giác \(MNPQ\).

b) Xét tứ giác MNPQ có: \(MN // PQ // AC, MQ // NP // BQ\).

Vậy thiết diện là hình bình hành \(MNPQ\).