Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

LG a

a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} \) lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right);\,\,\left( \beta  \right)\), chứng minh hai vector \({\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }\) không cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1}  = (4; 1; 2)\)

Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2}  = (2; -2; 1)\)

Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.

Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.

LG b

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).

Phương pháp giải:

Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\), điểm đó thuộc d.

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.

Lời giải chi tiết:

\((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).

Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z =  - 5\\ - 2y + z =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 3\end{array} \right.\) nên \({M_0}\left( {1;1; - 3} \right) \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\) hay \({M_0} \in d\)

Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.\)

LG c

c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng \((α)\).

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \((α)\).

- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng \((α)\).

Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\) \( \Rightarrow H\left( {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right)\).

Thay tọa độ \(H\) vào \(\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \) \(\Rightarrow H (0; 1; -1)\)

Gọi \(M' (x; y; z)\) đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì H là trung điểm MM'

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 =  - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( { - 4;0; - 3} \right)\)

LG d

d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng \(d\).

  - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng \(d\).

  - Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng \(d\).

Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (1; 0; -2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)

\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)

Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:

\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow  s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)

\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI} \)

\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) \)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr 
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr 
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)

Cách khác:

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(N\) trên \(d\)\( \Rightarrow I\left( {1 + t;1; - 3 - 2t} \right) \in d\).

\(\overrightarrow {NI}  = \left( {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right)\)

\(IN \bot d\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 0.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 7 - 2t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0\)

\( \Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\)

\( \Rightarrow I\left( { - 2;1;3} \right)\)

\(N'\) đối xứng \(N\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm \(NN'\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left( { - 2} \right) - 0 =  - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow N'\left( { - 4;0;2} \right)\)