Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\)

LG a

Viết phương trình các mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau và lần lượt chứa \(d\) và \(d'\).

Phương pháp giải:

+ Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)

+ Mặt phẳng \(\beta\) chính là mặt phẳng chứa \(d'\) và song song với \(d\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)

\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)\).

\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)\)

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \((α)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) nên: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)\)

Đường thẳng \(d\) chứa điểm \(A(2; -1; 1)\). Mặt phẳng \((α)\) chứa \(d\) nên chứa điểm \(A\). Phương trình của \((α)\):

\(2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0\)

Mặt phẳng \((\beta)\) chính là mặt phẳng chứa \(d'\) và song song với \(d\) nên cũng nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)\) là VTPT và đi qua điểm \(B\left( {2;0;1} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \((β)\): \(2(x-2)-y-3(z-1)=0 \Leftrightarrow  2x - y - 3z - 1 = 0\)

LG b

Lấy hai điểm \(M(2 ; -1 ; 1)\) và \(M'(2 ; 0 ; 1)\) lần lượt trên \(d\) và \(d'\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((β)\) và khoảng cách từ \(M'\) đến mặt phẳng \((α)\). So sánh hai khoảng cách đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d (M,(β))\) =\({{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\)

\(d\left( {M';\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 3.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\)

\(\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))\)