Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng: 

\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂  cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d₁ đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_1}}  = (3;2; - 2)\)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1; 0; -6)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\)

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng hay hai đường thẳng d₁, d₂ nằm cùng một mặt phẳng.

Cách khác:

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3t = t'\\1 + 2t = 1 + t'\\3 - 2t =  - 3 + 2t'\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' = 1\\2t - t' = 0\\ - 2t - 2t' =  - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\left( {2;3;1} \right)\)

b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d₁ và d₂.

Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow  6x - 8y + z + 11 = 0\)