Lý thuyết Phép tính lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).

\(\alpha  = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).

Chú ý:

Từ định nghĩa, ta có:

• \({\log _a}1 = 0;\,\,\,{\log _a}a = 1;\,\,{\log _a}{a^b} = b;\,\,\,{a^{{{\log }_a}b}} = b\).
• \({\log _{10}}b\) được viết là \(\log b\) hoặc \(\lg b\);
• \({\log _e}b\) được viết là \(\ln b\).

2. Tính chất

Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\), ta có:

• \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\) (lôgarit của một tích)
• \({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N\) (lôgarit của một thương)
• \({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\,\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)\) (lôgarit của một lũy thừa)

Chú ý: Đặc biệt, ta có:

• \({\log _a}\frac{1}{N} =  - {\log _a}N;\)
• \({\log _a}\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}{\log _a}M\) với \(n \in \mathbb{N}*\).

3. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương a, b, N, \(a \ne 1,b \ne 1\), ta có:

\({\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}\).

Đặc biệt, ta có:

\({\log _a}N = \frac{1}{{{{\log }_N}a}}\left( {N \ne 1} \right)\);   \({\log _{{a^\alpha }}}N = \frac{1}{\alpha }{\log _a}N\left( {\alpha  \ne 0} \right)\).