Lý thuyết mặt cầu

1. Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng không đổi \(r (r>0)\) được gọi là một mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).

\(S(O;r) = \left\{ {M|OM = r} \right\}\)

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và điểm \(A\) trong không gian.

- Nếu \(OA = r\) thì điểm \(A\) nằm trên mặt cầu

- Nếu \(OA < r\) thì điểm \(A\) nằm trong mặt cầu.

- Nếu \(OA > r\) thì điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất: Nếu điểm \(A\) ngoài mặt cầu \(S(O; r)\) thì:

- Qua \(A\) có vô số tiếp tuyến với mặt càu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối \(A\) với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu \(S(O; r)\) tâm \(O\) bán kính \(r\) và mặt phẳng \((P)\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(h = OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(h = OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((P)\).

- Nếu \(h = r\) thì \((P)\) tiếp xúc mặt cầu.

- Nếu \(h > r\) thì \((P)\) không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu \(h < r\) thì \((P)\) giao mặt cầu \(S(O;r)\) theo một đường tròn tâm \(H\), bán kính

\(r = \sqrt {{r^2} - {h^2}}\) nằm trên mặt phẳng \((P)\).

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và đường thẳng \(∆\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) lên \(∆\), đặt \(h = OH\). Thế thì:

- Khi \(h = r\) ta có đường thẳng \(∆\) tiếp xúc với mặt cầu tại \(H\).

- Khi \(h < r\): đường thẳng \(∆\) cắt mặt cầu tại hai điểm \(A, B\) mà độ dài  \(AB = 2\sqrt {{r^2} - {h^2}} \)