Giải mục 3 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = a\) và công bội \(q \ne 1\)

Để tính tổng của n số hạng đầu\({S_n} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{n - 1}} + {u_n}\)

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo \({u_1}\) và q để được biểu thức tính tổng \({S_n}\) chỉ chứa \({u_1}\) và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích \(q.{S_n}\) chỉ chứa \({u_1}\) và \(q\).

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính \(\left( {1 - q} \right){S_n}\) theo \({u_1}\)và \(q\). Từ đó suy ra công thức tính \({S_n}\).

Phương pháp giải:

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng \({S_n}\), ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng \({S_n}\).

Lời giải chi tiết:

a) \({u_2} = {u_1}.q\)

\({u_3} = {u_1}.{q^2}\)

…

\({u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}\)

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)

\({S_n} = {u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}\)

b) \(q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}\)

c) \({S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}\)

Vận dụng

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài xác định đâu là cấp số cộng, đâu là cấp số nhân.

Từ đó suy ra công thức tổng quát, thay giá trị n để tính được tổng lương và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý tạo thành cấp số nhân với

\({u_1} = 5 \times  3 = 15\), công sai \(d = 0,5 \times 3 = 1,5\)

Công thức tổng quát \({u_n} = 15 + 1,5\left( {n - 1} \right)\)

Sau 3 năm làm việc \(\left( {n = 12} \right)\), lương của người nông dân là:

\(\frac{{12}}{2}\left[ {2 \times 15 + \left( {12 - 1} \right) \times 1,5} \right] = 279\) (triệu đồng)

Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với

\({u_1} = 5 \times 3 = 15\), công bội \(q = 1,05\)

Công thức tổng quát \({u_n} = 15 \times 1,{05^{n - 1}}\)

Sau 3 năm làm việc \(\left( {n = 12} \right),\) lương của người nông dân là:

\(\frac{{15\left( {1 - 1,{{05}^{12}}} \right)}}{{1 - 1,05}} = 238,757\) (triệu đồng)

Vậy thì theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân cao hơn.