Giải bài tập 9 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a,\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

\(b,\;y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(g,y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\;\)

Lời giải chi tiết

\(a,\;y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

TXD : R

\(y' = 3{x^2} - 6x\)

Cho y= 0 => \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty :0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0:2)

\(\;b,\;y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

TXD: R

\(y' = \; - 3{x^2} + 6x - 6\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên R

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

TXD: R/2

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3 =  > TCN\;y = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

TXD: R/\( - \frac{3}{2}\)

TCN \(y = \frac{1}{2}\)

TCD \(x =  - \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(TXD:\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

TCD: x=0

Không có tiệm cận ngang

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)*x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\)

Cho y’=0 => x=\( \pm 2\)

Bảng biến thiên: