Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)            

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)                          

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

Lời giải chi tiết

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)

Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \frac{5}{3}\)

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\)

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x =  - 1\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 1\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = 2\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\)

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)

Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\) → \(x =  - 2;\;x = 2\)

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 2;\;x = 2\)

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\)

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y =  - 1\)