Giải bài tập 12 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải chi tiết

Giả sử chiều dài của hai cạnh đáy của hình thang cân lần lượt là \(x\) và \(2x\), và chiều dài của cạnh bên là \(a - 3x\). Do đó, chiều cao của hình thang cân là: \(h = \sqrt {{{(a - 3x)}^2} - {x^2}} \)

Diện tích của hình thang cân là:

\(S = \frac{{\left( {x + 2x} \right)h}}{2} = \frac{{3x\sqrt {{{(a - 3x)}^2} - {x^2}} }}{2}\)

Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta cần tìm giá trị x sao cho đạo hàm của S theo x bằng 0. Đạo hàm của S theo x được tính bằng công thức sau:

\(S' = \frac{{dS}}{{dx}} = \frac{{3x\left( {8x - 9} \right)}}{{2\sqrt { - {x^2} + {{(a - 3x)}^2}} }} + \frac{{3\sqrt { - {x^2} + {{(a - 3x)}^2}} }}{2}\).

Giải phương trình \(S' = 0\)

Sau khi giải, thay x vào công thức diện tích S, ta tìm được diện tích lớn nhất của mảnh vườn có thể rào được là \({S_{max}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)