Bài 9 trang 160 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn \((O)\). Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn lần lượt cắt tia \(AC\) và tia \(AB\) ở \(D\) và \(E\). Chứng minh:

a) \(B{D^2} = AC.CD.\)

b) Tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c) \(BC\) song song với \(DE\). 

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\) và \(\widehat {CBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(BC\)  nên  \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\) .

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) có \(\widehat {BDC}\) chung và \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\,\left( {cmt} \right)\)  nên \(\Delta ABD \backsim \Delta BCD\left( {g - g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} \Leftrightarrow B{D^2} = AD.CD\) (đpcm)  

b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {D_1};\,\widehat {E_1}\) là các góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

\(\widehat {D_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AC}-\) sđ\(\overparen{BC}\))  (1)

\(\widehat {E_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AB}-\) sđ\(\overparen{BC}\))   (2)

Ta lại có  \(\overparen{AC}=\overparen{AB}\) (vì \(AB=AC\)) nên từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {D_1} =\widehat {E_1}\) 

Hai điểm \(D,E\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một cặp góc bằng nhau và cùng nằm về một phía của BC nên tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c)  Vì tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {BED} + \widehat {BCD} = 180^\circ \) (tính chất) mà \(\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {BED} = \widehat {ACB}\) (cùng bù với \(\widehat {BCD}\)) 

Mặt khác \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BED}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(BC//ED\) (đpcm)