Bài 4 trang 157 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lần lượt lấy các điểm di động \(D\) và \(E\) sao cho \(\widehat {DOE} = 60^\circ .\)

a/ Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

b/ Chứng minh \(\Delta BOD \backsim \Delta OED.\)  Từ đó duy ra tia \(DO\) là tia phân giác của \(\widehat {BDE}.\)

c/ Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(AB\). Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với \(DE\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta CEO\) có \(\widehat B = \widehat C = 60^\circ \) 

 \(\widehat {BOD}  + \widehat {COE} = 180^\circ-\widehat {DOE}\)\(  = 180^\circ  - 60^\circ  =120^0\)

\(\widehat {COE} +  \widehat {OEC} = 180^\circ -\widehat {C} \) \(  = 180^\circ  - 60^\circ  =120^0\)

Mà \(\widehat {OCE} = 60^\circ \) (do \(\Delta ABC\) đều) nên \(\widehat {OEC} = 180^\circ  - \widehat {OCE} - \widehat {EOC} \)\(= 180^\circ  - 60^\circ  - \widehat {EOC} = 120^\circ  - \widehat {EOC}\)

Suy ra \(\widehat {BOD} = \widehat {OEC}\)

Vậy \(\Delta BOD \backsim \Delta CEO\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BO}}{{BD}} = \dfrac{{CE}}{{CO}}\)\( \Leftrightarrow BD.CE = OB.OC\)\( = \dfrac{{BC}}{2}.\dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{4}\)

Vậy \(BD.CE = \dfrac{{B{C^2}}}{4}\) không đổi.

b) Vì \(\Delta BOD \backsim \Delta CEO\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{OC}} = \dfrac{{OD}}{{OE}}\) mà \(OB = OC\) nên  \(\dfrac{{BD}}{{OB}} = \dfrac{{OD}}{{OE}}\)

Lại có \(\widehat {DBO} = \widehat {DOE} = 60^\circ \)  nên \(\Delta BOD \backsim \Delta OED\left( {c - g - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {BDO} = \widehat {ODE}\) nên \(DO\) là tia phân giác góc \(BDE.\)

c) Gọi \(H\) là tiếp điểm của đường tròn với cạnh \(AB\). Ta có \(OH \bot AB\). Kẻ \(OK \bot DE\) thì \(OK = OH\) (tính chất điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh góc đó) suy ra \(H \in \left( O \right)\) hay đường tròn \(\left( O \right)\) luôn tiếp xúc với \(DE.\)