Bài 11 trang 161 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Khi quay tam giác ABC vuông tại A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng \(BC = 4dm,\widehat {ACB} = {30^0}.\)  Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Lời giải chi tiết

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 4dm;\,\widehat {ACB} = 30^\circ \)  

Ta có \(AB=BC \sin 30^\circ  =4. \sin 30^\circ \)\(= \dfrac{1}{2}.4 = 2dm\)

Và \(\cos \widehat {ACB} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)\( \Rightarrow AC = BC.\cos \widehat {ACB} = 4.\cos 30^\circ \)\( = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{2}dm\)

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) ta được một hình nón có chiều cao \(h = AC = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}dm\), bán kính đáy \(R = AB = 2dm\) và đường sinh \(BC = 4dm\).

Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .2.4 = 8\pi \left( {d{m^2}} \right)\)

Thể tích hình nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}\)\(\left( {d{m^3}} \right)\)