Bài 2 trang 156 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\) có đường trung tuyến \(BN\) vuông góc với đường trung tuyến \(CM\), cạnh \(BC = a\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BN\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Nên \(BG = \dfrac{2}{3}BN\) (tính chất trọng tâm)

Xét tam giác \(BNC\) vuông tại \(C\) có \(BG\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì \(B{C^2} = BG.BN\) 

Suy ra \(  BN\dfrac{2.BN}{3}=B{C^2} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2.B{N^2}}{3} = B{C^2}\)\( \Leftrightarrow B{N^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\)

Vậy \( BN = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\) .