Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(( AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có đường kính \(BC.\) Kẻ dây \(AD\) vuông góc với \(BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(DB\) và \(CA.\) Qua \(E\) kẻ đường  thẳng vuông góc với \(BC,\) cắt \(BC\) ở \(H,\) cắt \(AB\) ở \(F.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Tam giác \(EBF\) là tam giác cân ;

\(b)\) Tam giác \(HAF\) là tam giác cân ;

\(c)\) \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)

Vì \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)

Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)

Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)

Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)

\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) nên \(HE = HF\)

Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)

\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\)    \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\)    \((3)\)

Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \)     \( (4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)

Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)