Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Gọi \(M\) là điểm thuộc nửa đường tròn, \(D\) là giao điểm của \(AM\) và \(By,\) \(C\) là giao điểm của \(BM\) và \(Ax,\) \(E\) là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AC.BD = AB^2;\)

\(b)\) \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) ( cùng phụ với \(\widehat {{A_1}}\)).

Xét \(∆ABC\) và \(∆BDA\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\)

\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)

\(∆ABC\) đồng dạng với \(∆BDA \;\;(g.g)\) suy ra:

\(\displaystyle{{AB} \over {BD}} = {{AC} \over {AB}}\), do đó \(AC . BD = AB^2\)

\(b)\) Áp dụng định lí trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với canh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Ta có trong \(∆MBD\) có \(ED = EM = EB\)

 \(∆EBM\) cân nên \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{B_2}}\)\((1)\)

\(∆MOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra

\(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}}\) = \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\) = \(90^\circ \),

tức là \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Vậy \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.