Bài 72 trang 113 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và đường cao \(AH.\) Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Biết \(BH = 2cm\) và \(HC = 6cm.\) Tính:

\(a)\) Diện tích hình tròn \((O).\)

\(b)\) Tổng diện tích hai hình viên phân \(AmH\) và \(BnH\) (ứng với các cung nhỏ).

\(c)\) Diện tích hình quạt tròn \(AOH\) (ứng với cung nhỏ \(AH\)).

Lời giải chi tiết

\(a)\) \(∆ABC\) có \(\widehat A = {90^0}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \)\(\Rightarrow A{B^2} = 2.\left( {2 + 6} \right) = 16\)

Suy ra \(AB = 4\, (cm)\)

Diện tích hình tròn tâm \(O\) là:

\(S = \displaystyle \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \)\(= \displaystyle \pi {\left( {{4 \over 2}} \right)^2} = 4\pi \) \( (cm^2)\)

\(b)\) Trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(A{H^2} = HB.HC = 2.6 = 12\)

Suy ra \(AH = 2\sqrt 3 \) \((cm)\)

\(S_{\Delta AHB}= \displaystyle {1 \over 2}AH.BH \)\(= \displaystyle {1 \over 2}.2.2\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) \( (cm^2)\)

Tổng diện  tích hai hình viên phân \(AmH\) và \(BnH\) bằng diện tích nửa hình tròn tâm \(O\) trừ diện tích \(∆AHB\) nên tổng diện tích hai hình viên phân là:

\(S = 2\pi  - 2\sqrt 3  = 2\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right)\) \( (cm^2)\)

\(c)\) \(∆BOH\) có \(OB = OH = BH = 2 cm\)

\( \Rightarrow \Delta BOH\) đều

\( \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)

\(\widehat B = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AmH}\) (tính chất góc nội tiếp)

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AmH}\) \( = 2\widehat B = {120^0}\)

\(S_{qAOH}=\displaystyle {{\pi {{.2}^2}.120} \over {360}} = \displaystyle {{4\pi } \over 3}\)  \( (cm^2)\)