Bài 70 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Dây \(AC\) của đường tròn \((O)\) tiếp xúc với đường tròn \((O’)\) tại \(A.\) Dây \(AD\) của đường tròn \((O’)\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A.\) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(A\) qua trung điểm \(I\) của \(OO’,\) \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AB ⊥ KB;\)

\(b)\) Bốn điểm \(A, C, E, D\) nằm trên cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO’.\)

Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(OO’ ⊥ AB\) tại \(H\)

Ta có: \(HA = HB\)

\(I\) là trung điểm của \(OO’\) nên \(IH ⊥ AB\;\;      (1)\)

Trong tam giác \(ABK,\) ta có:

\(HA = HB\) (chứng minh trên)

\(IA =  IK\) (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(ABK\)

Suy ra \(IH // BK      \;\;           (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AB ⊥KB\)

\(b)\) Vì  \(AB ⊥ KB\) nên \(AE ⊥ KB\)

Lại có: \(AB = BE\) ( tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: \(KA = KE\) ( tính chất đường trung trực)       \((3)\)

Ta có:  \(IO = IO’\;\; (gt)\)

\(IA = IK \) ( chứng minh trên)

Tứ giác \(AOKO’\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra: \(OK // O’A\) và \(OA // O’K\)

\(CA ⊥ O’A \) (vì \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\))

\(OK // O’A\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(OK ⊥ AC\)

Khi đó \(OK\) là đường trung trực của \(AC\)

Suy ra: \(KA = KC\) ( tính chất đường trung trực)         \((4)\)

\(DA ⊥ OA\) ( vì \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\))

\(O’K // OA\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(O’K  ⊥ DA\)

Khi đó \(O’K\) là đường trung trực của \(AD\)

Suy ra: \(KA = KD\) ( tính chất đường trung trực)       \((5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(KA = KC = KE = KD\)

Vậy bốn điểm \(A, C, E, D\) cùng nằm trên một đường tròn.