Bài 69 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B,\) trong đó \(O’\) nằm trên đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(O’OC\) của đường tròn \((O).\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(CA, CB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\)

\(b)\) Đường vuông góc với \(AO’\) tại \(O’\) cắt \(CB\) ở \(I.\) Đường vuông góc với \(AC\)  tại \(C\) cắt đường thẳng \(O’B\) ở \(K.\) Chứng minh rằng ba điểm \(O, I, K\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Tam giác \(AO’C\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(O’C\) là đường kính nên \(\widehat {O'AC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CA ⊥ O’A\) tại điểm \(A\)

Vậy \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\)

Tam giác \(BO’C\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(O’C\) là đường kính nên \(\widehat {O'BC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CB ⊥ O’B\) tại điểm \(B\)

Vậy \(CB\) là tiếp tuyến đường tròn \((O’)\)

\(b)\) Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(AC\) và \(BC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(C.\)

Suy ra: \(\widehat {ACO'} = \widehat {BCO'}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(O’I ⊥ O’A\) (gt)

\(CA ⊥ O’A\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(O’I // CA\) \( \Rightarrow \widehat {ACO'} = \widehat {CO'I}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: \(\widehat {BCO'} = \widehat {CO'I}\)

Hay tam giác \(CIO’\) cân tại \(I \)\(⇒ IC = IO’\)

Khi đó \(I\) nằm trên đường trung trực của \(O’C\)

Lại có: \(\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(KC ⊥ CA \;\;(gt)\)

\(  O’A ⊥ AC\) (chứng minh trên)

Suy ra:\( KC // O’A\) \(\Rightarrow \widehat {AO'C} = \widehat {O'CK}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: \(\widehat {O'CK} = \widehat {KO'C}\)

Hay tam giác \(CKO’\) cân tại \(K\)\( ⇒ KC = KO’\)

Khi đó \(K\) nằm trên đường trung trực của \(O’C\)

Mặt khác: \(OC = OO’ (= R)\)

Suy ra \(O, I, K\) nằm trên đường trung trực của \(O’C.\)

Vậy \(O, I, K\) thẳng hàng.