Bài 5.89 trang 213 SBT đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với \(\left| x \right|\) rất bé so với \(a > 0\left( {\left| x \right| \le a} \right)\) ta có

\(\sqrt {{a^2} + x}  \approx a + {x \over {2a}}{\rm{  }}\left( {a > 0} \right).\)

Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau:

LG a

\(\sqrt {146} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y\left( x \right) = \sqrt {{a^2} + x} ,\) ta có:

\(y'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{a^2} + x} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} + x} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + x} }}\)

Từ đó

\(\begin{array}{l}
\Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right) \approx y'\left( 0 \right)x\\
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - \sqrt {{a^2} + 0} \approx \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + 0} }}x\\
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - a \approx \dfrac{x}{{2a}}\\
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} \approx a + \dfrac{x}{{2a}}
\end{array}\)

Áp dụng :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {146} = \sqrt {{{12}^2} + 2} \\ 
\approx 12 + \dfrac{2}{{2.12}} \approx 12,0833
\end{array}\)

LG b

\(\sqrt {34} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {34} = \sqrt {{6^2} - 2} 
\approx 6 - \dfrac{2}{{2.6}} \approx 5,8333
\end{array}\)

LG c

\(\sqrt {120} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {120} = \sqrt {{{11}^2} - 1} \\
\approx 11 - \dfrac{1}{{2.11}} \approx 10,9545
\end{array}\)