Bài 57 trang 38 SBT toán 8 tập 1

Tìm giá trị nguyên của biến \(x\) để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

LG a

\(\displaystyle {2 \over {x - 3}}\) 

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức. 

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {2 \over {x - 3}}\) là một số nguyên nên \(2 \vdots \left( {x - 3} \right)\) và \(x \ne 3\)

\(\Rightarrow x – 3 ∈ Ư(2) = \{ - 2; -1 ; 1; 2 \}\) 

   \(\eqalign{& x - 3 =  - 2 \Rightarrow x = 1 (tm)  \cr & x - 3 =  - 1 \Rightarrow x = 2(tm)  \cr  & x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 (tm) \cr  & x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5(tm) \cr} \)

Vậy với \(x ∈ \{ 1; 2; 4; 5 \}\) thì \(\displaystyle {2 \over {x - 3}}\) là một số nguyên.

LG b

\(\displaystyle {3 \over {x + 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức. 

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên nên \(3 \vdots (x + 2)\) và \(x ≠ - 2\)

\(\Rightarrow x + 2 ∈ Ư(3) = \{ -3; -1; 1; 3 \}\)

    \(\eqalign{  & x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  - 5 (tm) \cr  & x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 3 (tm) \cr  & x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - 1(tm)  \cr  & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1(tm) \cr} \) 

Vậy với \(x ∈ \{ -5; -3; -1; 1 \}\) thì \(\displaystyle {3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên

LG c

\(\displaystyle {{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức. 

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt phép tính chia: 

Từ phép chia trên ta có:

\(\displaystyle {{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)\(\displaystyle  = {{\left( {3{x^2} + 8x + 33} \right)\left( {x - 4} \right) + 131} \over {x - 4}}\)\(\displaystyle  = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x - 4}}\)

Với \(x\) là số nguyên ta có : \(3{x^2} + 8x + 33\) là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì \(131 \vdots (x – 4 )\) và \(x ≠ 4\)

\(\Rightarrow x – 4 ∈ Ư(131) = \{-131; -1; 1;\)\( 131\}\)

  \(\eqalign{ & x - 4 =  - 131 \Rightarrow x =  - 127(tm)  \cr  & x - 4 =  - 1 \Rightarrow x = 3 (tm) \cr  & x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5  (tm)\cr  & x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135(tm) \cr} \)

Vậy \(x ∈ \{-127; 3; 5; 135\}\) thì \(\displaystyle {{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\) là số nguyên

LG d

\(\displaystyle {{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức. 

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\displaystyle {{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{3{x^2} + 2x - 3x - 2 + 3}}{{3x + 2}}\\
= \dfrac{{x\left( {3x + 2} \right) - \left( {3x + 2} \right) + 3}}{{3x + 2}}
\end{array}\)

\(\displaystyle  = {{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 3} \over {3x + 2}}\)\(\displaystyle  = x - 1 + {3 \over {3x + 2}}\) (với \(x \ne \displaystyle  - {3 \over 2}\) )

\(x\) là số nguyên nên \(x – 1\) là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì \(3 ⋮ (3x + 2)\) và \(x \ne  \displaystyle - {3 \over 2}\)

\(3x + 2 ∈ Ư(3) = \{-3; -1; 1; 3 \}\)

\(3x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  \displaystyle - {5 \over 3}\) (loại)

\(3x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 1(tm)\)

\(3x + 2 = 1 \Rightarrow x = \displaystyle  - {1 \over 3} \) (loại)

\(3x + 2 = 3 \Rightarrow x = \displaystyle {1 \over 3} \) (loại)

Vậy với \(x = - 1\) thì biểu thức \(\displaystyle {{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\) có giá trị nguyên.