Bài 52 trang 37 SBT toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến \(x\) và \(y\) (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa \(x\) và \(y\):

LG a

\(\displaystyle {{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phân thức về thành biểu thức không chứa biến.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}}\) xác định khi \(\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right) \ne 0\)\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{  {x + y \ne 0}  \cr {6x - 6y \ne 0}  \cr } } \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne  - y}  \cr{x - y \ne 0}  \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne  - y}  \cr{x \ne y}  \cr} } \right.\)

Với điều kiện trên ta có: 

\(\displaystyle {{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}}\)\(\displaystyle  = {{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \over {\left( {x + y} \right)6\left( {x - y} \right)}} = {1 \over 6}\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào \(x, y\).

LG b

\(\displaystyle {{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\) ( \(a\) là hằng số khác )

Phương pháp giải:

Biến đổi phân thức về thành biểu thức không chứa biến.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\) xác định khi \(4ax + 6x + 9y + 6ay \ne 0\)

\( \Rightarrow 2x\left( {2a + 3} \right) + 3y\left( {2a + 3} \right)\)\( = \left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right) \ne 0\)

Vì \(\displaystyle a \ne  - {3 \over 2}\)\( \Rightarrow 2a + 3 \ne 0\)\( \Rightarrow 2x + 3y \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne \displaystyle  - {3 \over 2}y\)

Với điều kiện : \(x \ne \displaystyle   - {3 \over 2}y\) và \(a \ne \displaystyle   - {3 \over 2}\) ta có:

\(\displaystyle {{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\)\(\displaystyle  = {{2x\left( {a - 1} \right) + 3y\left( {a - 1} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}}\)\(\displaystyle  = {{\left( {a - 1} \right)\left( {2x + 3y} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} = {{a - 1} \over {2a + 3}}\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào \(x, y\).