Giải bài 5 trang 82 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}si{n^2}79^\circ + {\rm{ }}co{s^2}79^\circ \)

b) \(B = \tan 73^\circ .\tan 37^\circ .\tan 53^\circ .\tan 17^\circ \)

c) \(C = {\cos ^2}73^\circ + {\cos ^2}53^\circ + {\cos ^2}17^\circ + {\cos ^2}37^\circ \)

d) \(D = \sin 59^\circ + \cos 59^\circ - \sin 31^\circ - \cos 31^\circ \)

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC vuông tại A với \(\widehat B = \alpha \), ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\), \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Suy ra \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.\)

a)   \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}si{n^2}79^\circ + {\rm{ }}co{s^2}79^\circ \)\( = 1\)

b)  Do \(73^\circ + 17^\circ = 90^\circ ;37^\circ + 53^\circ = 90^\circ \) nên

\(B = \tan 73^\circ .\tan 37^\circ .\tan 53^\circ .\tan 17^\circ \)

\( = \cot 37^\circ .\tan 37^\circ .\cot 17^\circ .\tan 17^\circ \)

\( = 1.1 = 1\)

c)   \(C = {\cos ^2}73^\circ + {\cos ^2}53^\circ + {\cos ^2}17^\circ + {\cos ^2}37^\circ \)

\( = {\sin ^2}17^\circ + {\sin ^2}37^\circ + {\cos ^2}17^\circ + {\cos ^2}37^\circ \)

\( = \left( {{{\sin }^2}17^\circ + {{\cos }^2}17^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\cos }^2}37^\circ } \right) = 1 + 1 = 2\)

d)  Do \(59^\circ + 31^\circ = 90^\circ \) nên

\(D = \sin 59^\circ + \cos 59^\circ - \sin 31^\circ - \cos 31^\circ \)

\( = \cos 31^\circ + \sin 31^\circ - \sin 31^\circ - \cos 31^\circ = 0\)