Bài 4.25 trang 166 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho khoảng \(K,{x_0} \in K\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) sao cho \(f\left( c \right) > 0\)

Lời giải chi tiết

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) =  + \infty \)

Từ định nghĩa suy ra \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({x_k} \in K\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}\) sao cho \(f\left( {{x_k}} \right) > 1>0\).

Đặt \(c = {x_k}\) ta có \(f\left( c \right) > 0\).