Bài 4.21 trang 165 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ,a} \right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} < a\) và \({x_n} \to  - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = M\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } g\left( {{x_n}} \right) = M\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right) = L.M\)

Từ định nghĩa suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)