Bài 4.18 trang 165 SBT đại số và giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x + 3} \over {3-x}}\)

Phương pháp giải:

Xem lại định nghĩa giới hạn hàm số tại đây

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Giả sử \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) là dãy số bất kì, \({x_n} \ne 3\) và \({x_n} \to 5\)

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} \dfrac{{{x_n} + 3}}{{3 - {x_n}}} = \dfrac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {x_n} + 3}}{{3 - \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {x_n}}}\) \( = \dfrac{{5 + 3}}{{3 - 5}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{{3 - x}} =  - 4\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{{x^3} + 1} \over {{x^2} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Xem lại định nghĩa giới hạn hàm số tại đây.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Giả sử \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) là dãy số bất kì, \({x_n} \to +\infty\)

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{1}{{{x_n}}} = 0\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{x_n^3 + 1}}{{x_n^2 + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{x_n^3\left( {1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}{{x_n^3\left( {\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}\)  \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}{{\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}\)   

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right) = 1 + 0 = 1 > 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right) = 0 + 0 = 0\) và \(\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}} > 0\)

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}{{\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}}} =  + \infty \)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} =  + \infty \).