Giải bài 42 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho \(\widehat {MAP} = 60^\circ \) (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Lời giải chi tiết

Do AM, AP là tiếp tuyến của (O) nên \(MA = PA\) và \(OM \bot MA,OP \bot PA\), do đó \(\widehat M = \widehat P = 90^\circ \) và AO là tia phân giác của góc MAP nên \(\widehat {MAO} = \widehat {PAO} = \frac{{\widehat {MAP}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Do AN, AQ là tiếp tuyến của (O’) nên \(NA = QA\) và \(O'N \bot NA,O'Q \bot QA\), do đó \(\widehat {O'NA} = \widehat {O'QA} = 90^\circ \) và AO’ là tia phân giác của góc NAQ nên \(\widehat {NAO'} = \widehat {QAO'} = \frac{{\widehat {NAQ}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Xét tứ giác OMAP có \(\widehat {MOP} + \widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P = 360^\circ \) nên \(\widehat {MOP} = 360^\circ  - \left( {\widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P} \right)\)\( = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 60^\circ  + 90^\circ } \right) = 120^\circ \), suy ra số đo cung nhỏ MP là 120⁰

Số đo cung lớn MP là \(360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ \) và có độ dài là \({l_1} = \frac{{\pi .4a.240}}{{180}} = \frac{{16\pi a}}{3}\)

Xét tứ giác O’NAQ có \(\widehat {NO'Q} + \widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ} = 360^\circ \) nên \(\widehat {NO'Q} = 360^\circ  - \left( {\widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ}} \right)\) \( = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 60^\circ } \right) = 120^\circ \), suy ra số đo cung nhỏ NQ là 120⁰ và có độ dài là \({l_2} = \frac{{\pi .a.120}}{{180}} = \frac{{2\pi a}}{3}\)

Ta có: \(MN = MA - NA;PQ = PA - QA\), mà \(MA = PA;NA = QA\) suy ra \(MN = PQ\).

Xét tam giác OAM vuông tại M có:

\(MA = OM.\cot \widehat {OAM} = a.\cot 30^\circ  = 4a\sqrt 3 \).

Xét tam giác O’AN vuông tại N có:

\(NA = ON.\cot O'AN = a.\cot 30^\circ  = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(MN = PQ = MA - NA = 4a\sqrt 3  - a\sqrt 3  = 3\sqrt 3 a\)

Độ dài dây Curoa mắc qua 2 ròng rọc là:

\(\frac{{16\pi a}}{3} + \frac{{2\pi a}}{3} + 3\sqrt 3 a + 3\sqrt 3 a = 6a\left( {\pi  + \sqrt 3 } \right)\).