Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta dễ dàng chứng minh được \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Vì \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\), ta suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(SO \bot AO\).

Do \(ABCD\) là hình thoi, nên ta có \(AC \bot BD\), hay \(AO \bot BD\).

Như vậy ta có \(SO \bot AO\), \(AO \bot BD\) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).

Mà \(AO \subset \left( {SAC} \right)\) nên ta suy ra \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Bài toán được chứng minh.