Bài 3.64 trang 168 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E) :  \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).  Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\) 

Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\)  và  \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\) 

Vì \(A \in (E)\) nên \(\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}\,\,\,(1)\)

Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) 

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 3y_0^2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 3\left( {1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 4 - 3 + \dfrac{{3x_0^2}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{7x_0^2}}{4} - 4{x_0} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \dfrac{2}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\)

Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\) 

Với \({x_0} = \dfrac{2}{7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} =  \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}.\) 

Vậy \(A\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right),B\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\) hoặc \(A\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right),B\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\).