Bài 3.58 trang 167 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Lời giải chi tiết

Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right).\) 

Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B,D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\).

Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) . Vậy A(1 ; 1), C(1 ; -1).

Trung điểm AC là \( I(1 ; 0)\).

Vì I là tâm hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}IB = IA = 1\\ID = IA = 1\end{array} \right.\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}B \in Ox\\D \in Ox\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B(b;0)\\D(d;0)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {b - 1} \right| = 1\\\left| {d - 1} \right| = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0,b = 2\\d = 0,d = 2.\end{array} \right.\) 

Suy ra B(0 ; 0) và D(2 ; 0) hoặc B(2 ; 0), D(0 ; 0).

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1 ; 1),  B(0 ; 0), C(1 ; -1), D(2 ; 0)

hoặc A(1 ; 1),  B(2 ; 0), C(1 ; -1), D(0 ; 0).