Bài 3.46 trang 166 SBT hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1).

LG a

Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\) tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng \(d':x - 2y - 6 = 0\).

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\).

Tìm tâm (giao điểm của \(d'\) và đường thẳng vừa viết được).

Viết phương trình đường tròn và kết luận.

Giải chi tiết:

 Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta :x + y + C = 0\).

\(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta :x + y - 3 = 0\).

Tọa độ tâm I của đường tròn (C)  là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\x - 2y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow I(4; - 1).\)

Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:

\({(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\)

LG b

Lập phương trình tiếp tuyến với  (C)  biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng \(m:x - y + 3 = 0\).

Phương pháp giải:

Gọi phương trình của tiếp tuyến dựa vào mối quan hệ vuông góc với \(m\).

Sử dụng điều kiện \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) thì \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\).

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(m:x - y + 3 = 0\). Tiếp tuyến \(\Delta '\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta '\) có phương trình: \(x + y + c = 0\) .

\(\Delta '\) là tiếp tuyến với (C)  \( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta '} \right) = R\)

\( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta '} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c =  - 7\end{array} \right.\)

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là : \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:x + y + 1 = 0\\{\Delta _2}:x + y - 7 = 0\end{array} \right.\)