Bài 3.45 trang 77 SBT đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

LG a

\(|2x - 5m| = 2x - 3m\);

Phương pháp giải:

+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

 Với \(2x - 5m \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{5m}}{2}\) phương trình đã cho trở thành

\(2x - 5m = 2x - 3m\) \( \Leftrightarrow 2m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy với \(m = 0\) thì mọi \(x \ge 0\)đều là nghiệm của phương trình.

Với \(2x - 5m < 0 \Leftrightarrow \) \(x < \dfrac{{5m}}{2}\) phương trình đã cho trở thành

\( - 2x + 5m = 2x - 3m\) \( \Leftrightarrow 4x = 8m\) \( \Leftrightarrow x = 2m\)

Vì \(x < \dfrac{{5m}}{2}\)nên \(2m < \dfrac{{5m}}{2}\) \( \Leftrightarrow m > 0\)

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là \(x = 2m\)

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

LG b

\(|3x + 4m| = |4x - 7m|\);

Phương pháp giải:

+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(|3x + 4m| = |4x - 7m|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4m = 4x - 7m\\3x + 4m =  - 4x + 7m\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11m\\x = \dfrac{{3m}}{7}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 11m\)và \(x = 11m\)với mọi giá trị của m.

LG c

\((m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0\);

Phương pháp giải:

+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

Với \(m =  - 1\) phương trình đã cho trở thành

\( - 5x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}\)

Với \(m \ne  - 1\)phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta  =  - 24m + 1.\)

Nếu \(m \le \dfrac{1}{{24}}\)thì \(\Delta  \ge 0\), phương trình có hai nghiệm

\({x_{1,2}} = \dfrac{{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} }}{{2(m + 1)}}\)

Kết luận:

Với \(x > \dfrac{1}{{24}}\)phương trình vô nghiệm.

Với \(x \le \dfrac{1}{{24}}\)và \(m \ne  - 1\)phương trình có hai nghiệm.

\({x_{1,2}} = \dfrac{{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} }}{{2(m + 1)}}\)

Với \(m =  - 1\)phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{1}{5}\).

LG d

\(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\)

Phương pháp giải:

+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\)Ta có

\(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\) \( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4} = (x - 3)(2x + m)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + \dfrac{{21}}{4} - 3m = 0\)

Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = \dfrac{3}{2},{x_2} = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).

Ta có: \(\dfrac{{7 - 4m}}{2} \ne 3\) \( \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{4}\)

Kết luận

Với \(m \ne \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\)và \(x = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).

Với \(m = \dfrac{1}{4}\)phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\).