Bài 3.41 trang 76 SBT đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

LG a

\(2m(x - 2) + 4 = (3 - {m^2})x\) ;

Phương pháp giải:

\({b_1}\): Đưa phương trình về dạng \({\rm{ax}} + b = 0\)

\({b_2}\): Biện luận: Nếu a khác 0 thì phuong trình có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\) 
                                Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm 
                                Nếu \(a = 0\)và \(b = 0\) thì phương trình có vô sô nghiệm 

Giải chi tiết:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

\((m - 1)(m + 3)x = 4(m - 1)\).

Với \(m \ne 1\) và \(m \ne  - 3\)phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{4}{{m + 3}}\);

Với \(m = 1\) mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

Với \(m =  - 3\) phương trình vô nghiệm.

LG b

\(\dfrac{{(m + 3)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\)

Phương pháp giải:

\({b_1}\): Đưa phương trình về dạng \({\rm{ax}} + b = 0\)

\({b_2}\): Biện luận: Nếu a khác 0 thì phuong trình có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\) 
                                Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm 
                                Nếu \(a = 0\)và \(b = 0\) thì phương trình có vô sô nghiệm 

Giải chi tiết:

Điều kiện \(2x - 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{2}\)

Khi đó ta có

\(\dfrac{{(m + 3)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\) \( \Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x - 1)\)

\( \Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2\).

Nếu \(m \ne  - \dfrac{1}{5}\)thì phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\).

Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi

\(\dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}} \ne \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1\) \( \Leftrightarrow m \ne  - 3\)

Nếu \(m =  - \dfrac{1}{5}\)phương trình cuối vô nghiệm.

Kết luận.

Với \(m =  - \dfrac{1}{5}\)hoặc \(m =  - 3\) phương trình đã cho vô nghiệm.

Với \(m \ne  - \dfrac{1}{5}\)và \(m \ne  - 3\)nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\).

LG c

\(\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = (4m + 1)x + 1\);

Phương pháp giải:

\({b_1}\): Đưa phương trình về dạng \({\rm{ax}} + b = 0\)

\({b_2}\): Biện luận: Nếu a khác 0 thì phuong trình có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\) 
                                Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm 
                                Nếu \(a = 0\)và \(b = 0\) thì phương trình có vô sô nghiệm 

Giải chi tiết:

Điều kiện \(x + 3 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne  - 3\). Khi đó ta có:

\(\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = (4m + 1)x + 1\) \( \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)

\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\)

Với \(m =  - \dfrac{1}{4}\)phương trình (1) trở thành

\(3x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x \ne  - 3\)

Với \(m \ne  - \dfrac{1}{4}\)phương trình (1) là một phương trình bậc hai có

\({\Delta ^'} = {(2m - 1)^2} \ge 0\).

Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm

\({x_1} =  - \dfrac{3}{{4m + 1}},{x_2} =  - 1\).

Ta có \( - \dfrac{3}{{4m + 1}} \ne  - 3\) \( \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)

Kết luận

Với \(m = 0\) hoặc \(m =  - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có một nghiệm \(x =  - 1\)

Với \(m \ne 0\)và \(m \ne  - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm

\(x =  - 1\) và \(x =  - \dfrac{3}{{4m + 1}}\).

LG d

 \(\dfrac{{(2 - m)x}}{{x - 2}} = (m - 1)x - 1\).

Phương pháp giải:

\({b_1}\): Đưa phương trình về dạng \({\rm{ax}} + b = 0\)

\({b_2}\): Biện luận: Nếu a khác 0 thì phuong trình có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\) 
                                Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm 
                                Nếu \(a = 0\)và \(b = 0\) thì phương trình có vô sô nghiệm 

Giải chi tiết:

Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\).

Khi đó ta có \(\dfrac{{(2 - m)x}}{{x - 2}} = (m - 1)x - 1\) \( \Leftrightarrow (2 - m)x = (x - 2){\rm{[}}(m - 1)x - 1]\)

\( \Leftrightarrow (m - 1){x^2} - (m + 1)x + 2 = 0(2)\)

Với \(m = 1\) phương trình (2) có dạng

\( - 2x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\)

Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :

\(\Delta  = {(m - 3)^2} \ge 0\).

Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm

\({x_1} = 1,{x_2} = \dfrac{2}{{m - 1}}\).

Ta có  \(\dfrac{2}{{m - 1}} \ne 2\) \( \Leftrightarrow m - 1 \ne 1\) \( \Leftrightarrow m \ne 2\)

Kết luận :

Với \(m = 1\) và \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = 1\).

Với \(m \ne 1\)và \(m \ne 2\)phương trình đã cho có hai nghiệm

\(x = 1\) và \(x = \dfrac{2}{{m - 1}}\)