Bài 3.45 trang 165 SBT hình học 10

Cho elip (E) : \({x^2} + 4{y^2} = 16\).

LG a

 Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng chính tắc \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) rồi xác định \(a,b,c\).

Từ đó suy ra các tiêu điểm và các đỉnh.

Lời giải chi tiết:

\((E):{x^2} + 4{y^2} = 16\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

Ta có \({a^2} = 16,{b^2} = 4\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 12\) \( \Rightarrow c = 2\sqrt 3 .\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm : \({F_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)\).

Các đỉnh \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\), \({A_2}\left( {4;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\).

LG b

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2)\).

Phương pháp giải:

 Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm VTPT thì có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

 Phương trình \(\Delta \) có dạng : \(1.(x - 1) + 2.\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) = 0\) hay \(x + 2y - 2 = 0\).

LG c

Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng \(\Delta \) và elip (E). Chứng minh MA = MB.

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm tìm nghiệm. Từ đó suy ra tọa độ hai điểm \(A,B\).

Tính \(MA,MB\) và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

 Tọa độ của giao điểm của \(\Delta \) và (E) là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x = 2 - 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1) ta được : \({\left( {2 - 2y} \right)^2} + 4{y^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {y^2} = 4\)\( \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y - 3 = 0\,\,\,\,\,(3)\)

Phương trình (3) có hai nghiệm \({y_A}\), \({y_B}\) thỏa mãn \(\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = {y_M}.\)

Vậy  \(MA = MB\).

Ta có \({y_A} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\), \({y_B} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\); \({x_A} = 1 + \sqrt 7 \), \({x_B} = 1 - \sqrt 7 \).

Vậy \(A\) có tọa độ là \(\left( {1 + \sqrt 7 ;\dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{2}} \right)\), \(B\) có tọa độ là \(\left( {1 - \sqrt 7 ;\dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{2}} \right).\)