Bài 3.44 trang 165 SBT hình học 10

Đề bài

Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng \(\Delta \) thay đổi có phương trình tổng quát \(Ax + By + C = 0\) luôn thỏa mãn \(25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}\). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm \({F_1}\), \({F_2}\) của (E) đến đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết

\((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\) \( \Rightarrow c = 4.\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\). Ta có :

\({d_1} = d({F_1},\Delta ) = \dfrac{{\left| { - 4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\), \({d_2} = d({F_2},\Delta ) = \dfrac{{\left| {4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\) .

Suy ra \({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}}\)  (1)

Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được :

\({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}} = \dfrac{{9({A^2} + {B^2})}}{{{A^2} + {B^2}}}\).

Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)